Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．AA₁⊥平面ABC，AA₁=AC=2AB=2，BC₁⊥A₁C．
（1）求证：AB⊥平面A₁C；
（2）试探究线段AA₁上的点D的位置，使得平面ABC₁与平面B₁C₁D所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，可得四边形ACC₁A₁是正方形．于是A₁C⊥AC₁，可得A₁C⊥平面ABC₁，A₁C⊥AB，进而得到AB⊥平面A₁C．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，分类讨论：①点D取A₁点时，平面ABC₁与平面B₁C₁D所成的二面角的平面角为∠CAC₁=45^°，即可得出结论．
②点D不取A₁点时，A（0，0，0），设D（0，0，t），（t∈[0，2）），设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．设平面DB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．利用$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
∵AA₁=AC，∴四边形ACC₁A₁是正方形．
∴A₁C⊥AC₁，
又BC₁⊥A₁C，又BC₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面ABC₁，
∴A₁C⊥AB，
又A₁C∩A₁A=A₁，
∴AB⊥平面A₁C．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，
①点D取A₁点时，平面ABC₁与平面B₁C₁D所成的二面角的平面角为∠CAC₁=45^°，
满足cos∠CAC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴点D可取A₁点．
②点D不取A₁点时，A（0，0，0），
设D（0，0，t），（t∈[0，2）），B（1，0，0），C（0，2，0），B₁（1，0，2），C₁（0，2，2）．
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，0，2-t）．
设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{2{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1）．
设平面DB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+（2-t）{z}_{2}=0}\\{-{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，1，$\frac{2}{t-2}$）．
∵平面ABC₁与平面B₁C₁D所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1-\frac{2}{t-2}|}{\sqrt{2}×\sqrt{5+（\frac{2}{t-2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为t²-3t+2=0，
解得t=1．
∴点D为线段AA₁的中点．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、线面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．