Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=2$\sqrt{2}$，PB=2．
（I）求证：AC⊥平面PBD；
（II）若∠DAB=60°，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）证明：PB⊥AC，AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面PBD；
（II）作OE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB．∠CEO是二面角B-PD-C的平面角，即可求二面角B-PD-C的余弦值．

解答 （I）证明：∵PA=2$\sqrt{2}$，PB=2，AB=2，
∴PB²+AB²=PA²，
∴PB⊥BA，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PB⊥底面ABCD，
∴PB⊥AC
∵底面ABCD是边长为2的菱形，
∴AC⊥BD，
∵PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD；
（II）解：作OE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB．
∴∠CEO是二面角B-PD-C的平面角
在△PCD中，P二面角B-PD-C的C=PD=2$\sqrt{2}$，CD=2，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×CE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$，
∴CE=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∵CO=$\sqrt{3}$，∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠CEO=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明与二面角的求法，熟练掌握线面垂直的定理及二面角的平面角的作法是解答的关键．