Question

18．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a为定值，θ变化时，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值，及此时的θ值．

Answer 1

分析 （1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S₁；
设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）化简比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
所以S₁=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$a²sinθcosθ；（3分）
设正方形的边长为x则BP=$\frac{x}{sinB}$，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得$\frac{x}{sinθ}$+xcosθ=acosθ，
解得x=$\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}$；
所以S₂=x²=${（\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}）}^{2}$；（6分）
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{{（1+sinθcosθ）}^{2}}{sinθcosθ}$
=$\frac{{（1+\frac{1}{2}sin2θ）}^{2}}{sin2θ}$
=$\frac{1}{sin2θ}$+$\frac{1}{4}$sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，（10分）
所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1；
设g（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1，
则g′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{4}$，t∈（0，1]；
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值g（t）_min=g（1）$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{4}$×1+1=$\frac{9}{4}$，
此时sin2θ=1，解得θ=$\frac{π}{4}$；
所以当θ=$\frac{π}{4}$时，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值最小，最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合性题目．