Question

2．设f（x）=（x-1）³+x+2，{a_n}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，且f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）+f（a₆）=18，则a₁=（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{7}{4}$
• C． -$\frac{5}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由已知函数解析式构造新函数g（x）=f（x）-3，可得g（x）关于（1，0）对称．把f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）+f（a₆）=18变形可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₆）=0，即g（a₃）与g（a₄）关于（1，0）对称，由对称性得到a₃+a₄=2，再结合已知求得a₁．

解答 解：∵f（x）=（x-1）³+x+2，∴f（x）-3=（x-1）³+x-1，
令g（x）=f（x）-3，
∴g（x）关于（1，0）对称．
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=18，
∴f（a₁）-3+f（a₂）-3+…+f（a₆）-3=0，
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₆）=0，
∴g（a₃）与g（a₄）关于（1，0）对称，
则a₃+a₄=$2{a}_{1}+5d=2{a}_{1}+\frac{5}{2}=2$．
解得：${a}_{1}=-\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了函数构造法，灵活性强，难度较大．