Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+sinx•cosx-

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得：f(x)=sin(2x+

π

3

)从而可求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）令2x+

π

3

=kπ，k∈Z即可求出x的值，因为x∈[0，2π）故可求所有x的和．

解答： 解：（I）∵由题得：f（x）=

3

cos²x+sinx•cosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）．
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
可得：递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（II）令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，
可得：x=-

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∵x∈[0，2π）∴k可取1，2，3，4．
∴所有满足条件的x的和为：

2π

6

+

5π

6

+

8π

6

+

11π

6

=

13π

3

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，属于基础题．