Question

已知 f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间
（2）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用“左加右减，上加下减”，即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

=sin2（x+

π

12

）+

3

2

，
∴先由函数y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位，再把图象向上平移

3

2

个单位，即可得到函数f（x）的图象．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．