Question

16．已知直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t为参数，0≤θ＜π）$，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$
（1）写出曲线C的普通方程；
（2）若F₁为曲线C的左焦点，直线l与曲线C交于A，B两点，求|F₁A|•|F₁B|最小值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C转化成4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可求得曲线C的普通方程；
（2）由直线l过椭圆的右焦点，将直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及椭圆的定义，及正弦函数的性质即可求得|F₁A|•|F₁B|最小值．

解答 解：（1）由题意可知：ρ²（1+3sin²θ）=4，整理得：4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，则$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由直线l过椭圆的右焦点F₂，则丨F₁A丨=4-丨F₂A丨，丨F₁B丨=4-丨F₂B丨，
将直线l的参数方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+3sin²θ）t²+2$\sqrt{3}$cosθt-1=0，
则t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{3}cosθ}{1+3si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{1}{1+3si{n}^{2}θ}$，
则丨F₁A丨丨F₁B丨=（4-丨F₂A丨）（4-丨F₂B丨）=16-4（丨F₂A丨+丨F₂B丨）+丨F₂A丨丨F₂B丨，
=16-4丨t₁-t₂丨+丨t₁t₂丨=16-$\frac{15}{1+3si{n}^{2}θ}$≥1，
|F₁A|•|F₁B|最小值1．

点评 本题考查椭圆的参数方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的定义及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．