Question

20．已知曲线f（x）=a^x-1+1（a＞1）恒过定点A，点A恰在双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐标，利用点A恰在双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，得出$\frac{b}{a}$=2，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：曲线f（x）=a^x-1+1（a＞1）恒过定点A（1，2），
∵点A恰在双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选A．

点评 本题考查函数过定点，考查双曲线的方程与性质，确定A的坐标是关键．