Question

已知函数f（x）=sin2x-2a（sinx+cosx）+a²，
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为g（a），无论a为何值g（a）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，f（x）=sin2x-4（sinx+cosx）+4，令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），可求得g（t）=t²-4t+3=（t-2）²-1，继而可求得函数g（t）（即f（x））的最小值；
（2）同（1）令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），h（t）=t²-1-2at+a²=（t-a）²-1，通过对a范围的讨论，可求得g（a）=

a2+2 2 a+1，a＜- 2 -1，- 2 ≤a≤ 2 a2-2 2 a+1，a＞ 2

及其最小值，于是可得m的范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=sin2x-4（sinx+cosx）+4
=2sinxcosx-4（sinx+cosx）+4，
令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），
则2sinxcosx=t²-1，
∴g（t）=t²-4t+3=（t-2）²-1，
∵g（t）在[-

2

，

2

]上单调递减，
∴g（t）_min=g（

2

）=5-4

2

．
（2）令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），
∵h（t）=t²-1-2at+a²=（t-a）²-1，
当a＜-

2

时，h（t）_min=h（-

2

）=1-2a（-

2

）+a²；
当-

2

≤a≤

2

时，h（t）_min=-1；
当a＞

2

时，h（t）_min=h（

2

）=1-2

2

a+a²；
∴g（a）=

a2+2 2 a+1，a＜- 2 -1，- 2 ≤a≤ 2 a2-2 2 a+1，a＞ 2

，
∴g（a）_min=-1，
∴m≤-1

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查函数与方程思想与综合运算求解能力，属于难题．