Question

选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量

e1

=（

2 3

），并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量

e2

=（

1 -1

），

α

=（

-1 1

）．
（1）求矩阵M；
（2）求M⁵α．

Answer 1

考点：特征值、特征向量的应用

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）利用待定系数法，即可求矩阵M；
（2）确定α=0

2 3

+(-1)

1 -1

，即可求M⁵α．

解答： 解：（1）设M=

a b c d

则

a b c d

2 3

=4

2 3

，∴

2a+3b=8 2c+3d=12

①
又

a b c d

1 -1

=（-1）

1 -1

，∴

a-b=-1 c-d=1

②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=

1 2 3 2

．…（4分）
（2）易知α=0

2 3

+(-1)

1 -1

，∴M5α=(-1)6α=

-1 1

…（7分）

点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．