Question

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为

1

5

和P．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

19

20

，求P的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，利用对立事件的概率计算公式能求出p．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相对应概率，由此能求出ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

解答： 解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
则1-P（

.

C

）=1-

1

5

×p=

19

20

，
解得p=

1

4

．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)3=

1

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

5

)2(1-

1

5

)=

12

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

×

1

5

×(1-

1

5

)2=

48

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(1-

1

5

)3=

64

125

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

Eξ=0×

1

125

+1×

12

125

+2×

48

125

+3×

64

125

=

12

5

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．