Question

在直角坐标系xOy中，曲线C_l的参数方程为

x= 2 cosα y= 2 sinα

（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=4

2

（Ⅰ）求曲线C_l的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．

Answer 1

考点：圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）把圆的参数方程平方作和即可得到圆的普通方程．展开两角和的正弦公式，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）由圆心到直线的距离减去圆的半径得点P到C₂上点的距离的最小值，联立联立

x2+y2=2 y=x

求得P点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 cosα y= 2 sinα

，两式平方作和得：x²+y²=2．
∴曲线C_l的普通方程为x²+y²=2．
由ρsin（θ+

π

4

）=4

2

，得：
ρsinθcos

π

4

+ρcosθsin

π

4

=4

2

．
即

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=4

2

，
ρsinθ+ρcosθ=8．
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y=8；
（Ⅱ）如图，

过O作直线C₂的垂线交圆C_l于点P，
则圆C_l上的动点P到直线C₂的最小距离为：d=

8

2

-

2

=3

2

．
联立

x2+y2=2 y=x

，解得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

（舍）．
故取得最小值时的P点的坐标为（1，1）．

点评：本题考查圆的参数方程化普通方程，考查直线的极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式，是基础的计算题．