Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a+c=3，b=

3

，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）设f（x）=2cos（2x+B）+4cos²x，求函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的值域．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可将sinC=2sinA，转化为c=2a，再利用余弦定理可求得cosB=

1

2

，从而可得B；
（Ⅱ）利用三角恒等变换，可化简为f（x）=2

3

sin（2x-

π

3

）+2，由x∈[

π

2

，π]，可求得2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）根据正弦定理，由sinC=2sinA，得c=2a，又a+c=3，从而可得a=1，c=2，
又b=

3

，于是cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

．
由于0＜B＜π，所以B=

π

3

；  …（6分）
（Ⅱ）由已知得f(x)=2cos(2x+

π

3

)+2cos2x+2=3cos2x-

3

sin2x+2=-2

3

(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+2=-2

3

sin(2x-

π

3

)+2，
因为x∈[

π

2

，π]，所以

2π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

，
于是，当2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，f（x）取最小值-1；
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，f（x）取最大值2+2

3

．
因此函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的值域为[-1，2+2

3

]．…（12分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，突出考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，属于中档题．