Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）在如图坐标系里用五点法画出函数f（x），x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的图象．

x	- 7π 12				5π 12

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）直接利用（1）的函数关系式利用整体思想求正弦型函数的单调区间．
（3）利用列表，描点．连线求出函数的图象．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=2sin(2x+

π

6

)
所以：T=

2π

2

=π
（2）令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
解得：

π

6

+kπ≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）
所以：函数的单调递减区间为：[

π

6

+kπ，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（3）列表：
描点并连线

x	- 7π 12	- π 3	- π 12	π 6	5π 12
2x+ π 6	-π	- π 2	0	π 2	π
sin（2x+ π 6 ）	0	-1	0	1	0
2sin（2x+ π 6 ）	0	-2	0	2	0

点评：本题考查的知识要点：函数关系似的恒等变换，正弦型函数的周期和单调区间的应用，利用五点法画出函数的图象．属于基础题型．