Question

若sinx=

1-a

2

，x∈[

π

3

，π]上有两个实数根，求a的范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：根据正弦函数的单调性，得到当x∈[

π

3

，π]时，在区间[

π

3

，π]上且x≠

π

2

时，存在两个自变量x对应同一个 sinx．由此得到若f（x）有两个零点，即sinx=

1-a

2

，在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵当x∈[

π

3

，π]时，t=sinx在区间（

π

3

，

π

2

）上为增函数，
在区间（

π

2

，π）上为减函数，且sin

π

3

=sin

2π

3

∴当x∈[

π

3

，

π

2

）且x≠

π

2

时，存在两个自变量x对应同一个sinx
即当t∈[

3

2

，1）时，方程t=sinx有两个零点
∵sinx=

1-a

2

，在x∈[

π

3

，π]上有两个实数根，即

1-a

2

=sinx在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，
∴

1-a

2

∈[

3

2

，1），
解之得：a∈（-1，1-

3

]．

点评：本题给出三角函数式，求满足函数在指定区间上有两个零点的参数a的取值范围．着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识，属于中档题．