题目内容
已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，
=x
+y
，且2x+10y=5，则边BC的长为 ．
| AO |
| AB |
| AC |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：由于三角形外心与三角形边的中点的连线，与这条边垂直，所以分别取边AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE．由于AO是△AOD和△AOE的公共边，现在Rt△AOD中，cos∠OAD=
=
•
，这样表示出cos∠OAD之后，再求一下
•
，结果求出来是18，同样的办法去求
•
．对
=x
+y
的两边同乘以
，会得到关于x，y，cos∠BAC的一个等式；同样的办法，对其两边同乘以
，又可以得到一个等式，结合条件2x+10y=5便可解出cos∠BAC．这时候，就可以用余弦定理求BC边了．
|
| ||
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| 1 |
| 2 |
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| ||
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| AO |
| AB |
| AO |
| AC |
| AO |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
解答：
解：分别取AB，AC的中点为D，E，并连接OD，OE，根据条件有：OD⊥AB，OE⊥AC；
在Rt△OAD中，cos∠OAD=
=
•
=
；
∴
•
=|
||
|cos∠OAD=|
|•6•
=18；
同理可得，
•
=50；
∴
•
=x
•
+y
•
=36x+60ycos∠BAC ①
•
=x
•
+y
•
=60xcos∠BAC+100y ②
又2x+10y=5 ③
∴由①②③解得cos∠BAC=
；
由余弦定理得：BC2=36+100-2×6×10×
=96，∴BC=4
．
故答案为：4
．
在Rt△OAD中，cos∠OAD=
|
| ||
|
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| 1 |
| 2 |
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| ||
|
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| 3 | ||
|
|
∴
| AO |
| AB |
| AO |
| AB |
| AO |
| 3 | ||
|
|
同理可得，
| AO |
| AC |
∴
| AO |
| AB |
| AB |
| AB |
| AC |
| AB |
| AO |
| AC |
| AB |
| AC |
| AC |
| AC |
又2x+10y=5 ③
∴由①②③解得cos∠BAC=
| 1 |
| 3 |
由余弦定理得：BC2=36+100-2×6×10×
| 1 |
| 3 |
| 6 |
故答案为：4
| 6 |
点评：求解本题的关键就是求
•
，
•
，并对
=x
+y
的两边分别乘以
，
，所以这样就会出现cos∠BAC，然后建立关于cos∠BAC的等式，从而解出它来．
| AO |
| AB |
| AO |
| AC |
| AO |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
练习册系列答案
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如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=1．若点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且AE=BF=CG=DH，则四边形EFGH面积的最小值为一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则Eξ的值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、2 |