Question

15．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a•}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=5，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的正切值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的定义，即可求出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ以及θ的正切值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
又$\overrightarrow{a•}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=5，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2²+2×1×cosθ=5，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴tanθ=$\sqrt{3}$，
即向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的正切值为$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．