Question

10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是经过极点的圆，且圆心C₂在过极点且垂直于极轴的直线上．已知曲线C₁上的点$A（3\sqrt{3}，1）$对应的参数为$θ=\frac{π}{6}$，曲线C₂过点$B（2，\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求曲线C₁及曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P在曲线上C₁，求P，C₂两点间的距离|PC₂|的最大值．

Answer 1

分析 （I）点$A（3\sqrt{3}，1）$对应的参数为$θ=\frac{π}{6}$，代入曲线C₁可得，$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{1=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得b，a．即可得出曲线C₁的直角坐标方程．曲线C₂是经过极点的圆，且圆心C₂在过极点且垂直于极轴的直线上．可得极坐标方程为ρ=2Rsinθ，把点$B（2，\frac{π}{6}）$代入即可得出曲线C₂的直角坐标方程．
（II）不妨设P（6cosθ，2sinθ），C₂（0，2），则$|{C}_{2}P{|}^{2}$=$-32（sinθ+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{81}{2}$，再利用三角函数与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）点$A（3\sqrt{3}，1）$对应的参数为$θ=\frac{π}{6}$，代入曲线C₁可得，$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{1=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得b=2，a=6．
∴曲线C₁的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲线C₂是经过极点的圆，且圆心C₂在过极点且垂直于极轴的直线上．
∴极坐标方程为ρ=2Rsinθ，∵曲线C₂过点$B（2，\frac{π}{6}）$，
∴2=2Rsin$\frac{π}{6}$，解得R=2．圆心为（0，2），可得曲线C₂的直角坐标方程为：x²+（y-2）²=4．
（II）不妨设P（6cosθ，2sinθ），C₂（0，2），则$|{C}_{2}P{|}^{2}$=36cos²θ+（2sinθ-2）²=$-32（sinθ+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{81}{2}$≤$\frac{81}{2}$，
∴P，C₂两点间的距离|PC₂|的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．