Question

3．已知函数f（x）=e^x（其中e是自然对数的底数），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）记函数F（x）=f（x）•g（x），当a＞0时，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出F（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）；构造函数，根据函数的单调性求出即可．

解答 解：（Ⅰ）：F（x）=f（x）•g（x）=e^x（x²+ax+1），
∴F'（x）=e^x（x+1）（x+a+1）=0，
得x=-1或x=-a-1，列表如下：（a＞0，∴-1-a＜-1）

x	（-∞，-1-a）	-1-a	（-1-a，-1）	-1	（-1-a，+∞）
F'（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴F（x）的单调增区间为：（-∞，-1-a），（-1，+∞），减区间为（-1-a，-1）；
（Ⅱ）设x₁＜x₂，∵f（x）=e^x是单调增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞|g（x₁）-g（x₂）|
⇒f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）；
①由f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），
得：f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），
即函数y=f（x）-g（x）=e^x-x²-ax-1在[0，2]上单调递增，
∴y'=f'（x）-g'（x）=e^x-2x-a≥0在[0，2]上恒成立，
∴a≤e^x-2x在[0，2]上恒成立；
令h（x）=e^x-2x，∴h'（x）=e^x-2=0⇒x=ln2，
∴x∈[0，ln2）时，h'（x）＜0；x∈（ln2，2]时，h'（x）＞0；
∴$h{（x）_{min}}=h（ln2）={e^{ln2}}-2ln2=2-2ln2$，
∴a≤2-2ln2；
②由g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
得：g（x₁）+f（x₁）＜f（x₂）+g（x₂），
即函数y=f（x）+g（x）=e^x+x²+ax+1在[0，2]上单调递增，
∴y'=f'（x）+g'（x）=e^x+2x+a≥0在[0，2]上恒成立，
∴a≥-e^x-2x在[0，2]上恒成立；
∵函数y=-e^x-2x在[0，2]上单调递减，
∴当x=0时，${y_{max}}=-{e^0}-2•0=-1$，
∴a≥-1，
综上所述，实数a的取值范围为[-1，2-2ln2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．