Question

3．已知a=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）dx，则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中x⁴的系数为40．

Answer 1

分析 a=2$sin（2x+\frac{π}{6}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-2，则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵即$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{5}$，利用其展开式的通项公式即可得出．

解答 解：a=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）dx=2$sin（2x+\frac{π}{6}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-2，
则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵即$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{5}$的展开式的通项公式：
T_r+1=${∁}_{5}^{r}（{x}^{2}）^{5-r}$$（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{5}^{r}$x^10-3r，
令10-3r=4，解得r=2．
∴展开式中x⁴的系数=$（-2）^{2}{∁}_{5}^{2}$=40．
故答案为：40．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．