Question

20．如图，CA，CB分别与圆O切于A，B两点，AE是直径，OF平分∠BOE交CB的延长线于F，BD∥AC．
（1）证明：OB²=BC•BF；
（2）证明：∠DBF=∠AOB．

Answer 1

分析 （1）连接OC，运用切线的性质，可得△OAC≌△OBC，结合内角平分线的定义，可得∠FOC=90°，由直角三角形的射影定理，即可得证；
（2）由对角互补，可得四点C，A，O，B共圆，延长AC至M，运用两直线平行的性质，即可得证．

解答 证明：（1）连接OC，由CA，CB为切线，可得CA=CB，
OA=OB，OC=OC，
即有△OAC≌△OBC，
即有∠AOC=∠BOC，
又OF平分∠BOE交CB的延长线于F，
可得∠EOF=∠BOF，
则∠FOC=∠FOB+∠BOC=∠EOF+∠AOC=90°，
在直角三角形COF中，OB为斜边CF上的高，
由射影定理，可得OB²=BC•BF；
（2）由∠CAO=∠CBO=90°，可得
四点C，A，O，B共圆，延长AC至M，
即有∠MCB=∠AOB，
由BD∥AC，可得∠DBF=∠MCB，
即有∠DBF=∠AOB．

点评 本题考查圆的切线的性质、四点共圆的判定和性质、直角三角形的射影定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．