Question

4．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点
（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；
（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，
∵∠FCA+∠ACD=90°
∴∠BDC=∠FCA=∠BAC
∴等腰梯形ACFB
∴CF=AB．
根据勾股定理，得
CF²+DC²=AB²+DC²=DF²=100，
∴DF=10，
∴OD=5，即⊙O的半径为5，
∴⊙O的面积S=25π．

点评 此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．