Question

18．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=337．

Answer 1

分析 通过f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$可知函数f（x）是周期T=6的函数，进而可求出f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，利用2014=335×6+4计算即得结论．

解答 解：因为f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
所以f（x+6）=f（x+3+3）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
即函数f（x）是周期T=6的函数，
又因为-3≤x＜-1时f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时f（x）=x，
所以f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，
f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，
因为2014=335×6+4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
所以所求值为335+（1+2-1+0）=337，
故答案为：337．

点评 本题考查求函数的值，考查函数的周期性，考查分段函数，注意解题方法的积累，属于中档题．