题目内容
10．
小王大学毕业后决定利用所学知识自主创业，在一块矩形的空地上办起了养殖场，如图所示，四边形ABCD为矩形，AB=200米，AD=200$\sqrt{3}$米，现为了养殖需要，在养殖场内要建造蓄水池，小王因地制宜，建造了一个三角形形状的蓄水池，其中顶点分别为A，E，F（E，F两点在线段BD上），且∠EAF=$\frac{π}{6}$，设∠BAE=α．（1）请将蓄水池的面积f（α）表示为关于角α的函数形式，并写出角α的定义域；
（2）当角α为何值时，蓄水池的面积最大？并求出此最大值．
分析 （1）先求出α的范围，再分别根据正弦定理得到AE，AF，再根据三角形的面积公式即可表示出f（α），
（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出最值．
解答 解：（1）∵∠BCD=$\frac{π}{2}$，∠EAF=$\frac{π}{6}$，设∠BAE=α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
在△ABD中，AD=200米，AD=200$\sqrt{3}$米，∠BCD=$\frac{π}{2}$，
∴∠ABD=$\frac{π}{3}$，
在△ABF中，∠AFB=π-∠ABF-∠BAF=π-$\frac{π}{3}$-（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{π}{2}$-α，
由正弦定理得：$\frac{AF}{sin∠ABF}$=$\frac{AB}{sin∠AFB}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{2}-α）}$=$\frac{AB}{cosα}$，
∴AF=$\frac{100\sqrt{3}}{cosα}$，
在△ABE中，由正弦定理得：$\frac{AE}{sin∠ABE}$=$\frac{AB}{sin∠AEB}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
∴AE=$\frac{100\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
则△AEF的面积S△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin∠EAF=$\frac{7500}{sin（\frac{π}{3}+α）cosα}$=$\frac{3000}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴f（α）=$\frac{3000}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
（2）∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴（2α+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{π}{3}$，π]．
∴0≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴2sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$的最小值为$\sqrt{3}$，
∴当α=$\frac{π}{3}$时，f（α）max=1000$\sqrt{3}$
点评 本题考查了正弦定理和以及三角形的面积公式和正弦函数的图象和性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题
| A． | 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 | |
| B． | 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 | |
| C． | 圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个 | |
| D． | 当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆 |
在长方体ABCD-A1B1C1D1任意取点，则该点落在四棱锥B1-ABCD内部的概率是$\frac{1}{3}$．| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$ |