Question

7．某景区欲建两条圆形观景步道M₁，M₂（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M₂与AC，AD分别相切于点C，D．
（1）若$∠BAD=\frac{π}{3}$，求圆M₁，M₂的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M₁，M₂的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质即可得出圆的半径；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），化简，令1+tanα=x换元，利用基本不等式得出最值．

解答 解：（1）连结M₁M₂，AM₁，AM₂，
∵圆M₁与AB，AD相切于B，D，圆M₂与AC，AD分别相切于点C，D，
∴M₁，M₂⊥AD，∠M₁AD=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{π}{6}$，∠M₂AD=$\frac{π}{12}$，
∴M₁B=ABtan∠M₁AB=60×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.6（米），
∵tan$\frac{π}{6}$=$\frac{2tan\frac{π}{12}}{1-ta{n}^{2}\frac{π}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴tan$\frac{π}{12}$=2-$\sqrt{3}$，
同理可得：M₂D=60×tan$\frac{π}{12}$=60（2-$\sqrt{3}$）≈16.1（米）．
（2）设∠BAD=2α（0＜α＜$\frac{π}{4}$），由（1）可知圆M₁的半径为60tanα，圆M₂的半径为60tan（45°-α），
设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α）=96πtanα+108π•$\frac{1-tanα}{1+tanα}$，
设1+tanα=x，则tanα=x-1，且1＜x＜2．
∴y=96π（x-1）+108π（$\frac{2}{x}-1$）=12π•（8x+$\frac{18}{x}$-17）≥84π≈263.8，
当且仅当8x=$\frac{18}{x}$即x=$\frac{3}{2}$时取等号，
当x=$\frac{3}{2}$时，tanα=$\frac{1}{2}$，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．
∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．