Question

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足
（Ⅰ）存在闭区间A=

π

3

，B=x，C＞0，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常数）；
（Ⅱ）对于D内任意x₂，当x₂∉[a，b]时总有f（x₂）＞c，则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若x=4时，f（x）是“平底型”函数，求m和n满足的条件，并说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,带绝对值的函数

专题：新定义

分析：（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，
②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．
（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，从而得到f（x）≤2，
结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．
（3）根据函数解析式，进行分类讨论：m+n＞0；m-n≠0；m+n＜0；m+n=0；m-n＞0；m-n＜0；m-n=0，结合图象验证求解．

解答： 解：（1）f₁（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数，…1分
存在区间[1，2]使得x∈[1，2]时，f（x）=1，当x＜1和x＞2时，f（x）＞1恒成立； …2分
f₂（x）=x-|x-3|不是“平底型”函数，…1分
不存在[a，b]⊆D使得任取x∈[a，b]，都有f（x）=常数 …1分
（2）若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R
恒成立（|t-1|+|t+1|）_min≥f（x）
（|t-1|+|t+1|）_min=2 …3分
f（x）≤2即|x-1|+|x-2|≤2
解得

1

2

≤x≤

5

2

…3分
（3）f(x)=

-(m+n)x+m+2nx＜1 (m-n)x+2n-m1≤x≤2 (m+n)x-m-2nx＞2

①当m+n＞0时若m-n=0时，由图1b知，是“平底型”函数，存在[1，2]使常数 …1分
若m-n≠0时，由图1a知，是“平底型”函数，存在[a，b]满足条件 …1分
②m+n＜0不是由图2知，不是“平底型”函数，…1分
③m+n=0
若m-n＞0时，由图3知不是“平底型”函数，因为不存在区间[a，b]满足条件 …1分若m-n＜0时，由图4 知不是“平底型”函数，因为不存在区间[a，b]满足条件 …1分若m-n=0时，f（x）=0，显然不是“平底型”函数 …1分

点评：本题的考点是函数恒成立问题，综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，关键是对新概念的理解．