Question

2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千克）对年消售量y（单位：t）和年利润z（单位：千克）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中：w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d $\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂）…..（u_n，v_n），其回归线$\widehat{v}$=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）（{v}_{1}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）^{2}}$，α=$\overline{v}$-β$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=$\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d $\sqrt{x}$，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于$\widehat{d}$=$\frac{108.6}{1.6}$68，
$\widehat{c}$=$\widehat{y}$-$\widehat{d}$w=563-68×6.8=100.6，
∴y关于w的线性回归方程为$\widehat{y}$=100.6+68w，
∴y关于x的回归方程为$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值$\widehat{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8时，年利润的预报值最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题．