Question

17．如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；    
（2）求三棱锥C-AED的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，进而BC⊥AE，再由AE⊥PB，能证明AE⊥平面PBC．
（2）在面PAB内过E做EH∥PA，交AB于H，由V_C-AED=V_E-ACD，能求出三棱锥C-AED的体积．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，
∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AB=PA=1，E是PB的中点．∴AE⊥PB，
∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．
解：（2）在面PAB内过E做EH∥PA，交AB于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∴三棱锥C-AED的体积${V_{C-AED}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•EH=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．