题目内容

12．已知直线y=-x+1与椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，线段AB的长为$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，求椭圆的方程；
（2）若向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]时，求椭圆的长轴长的最大值．

分析 （1）$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a2=b2+c2，化为：$a=\sqrt{3}c$，b=$\sqrt{2}$c．椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，可得2x2+3y2=6c2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x2-6x+3-6c2=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，解出即可得出．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（b2+a2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，把根与系数的关系代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=2x1x2-（x1+x2）+1=0，化简进而得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a2=b2+c2，化为：$a=\sqrt{3}c$，b=$\sqrt{2}$c．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，可得2x2+3y2=6c2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6{c}^{2}}\end{array}\right.$，化为：5x2-6x+3-6c2=0，
∴x1+x2=$\frac{6}{5}$，x1•x2=$\frac{3-6{c}^{2}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{36}{25}-\frac{4（3-6{c}^{2}）}{5}]}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，解得c2=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b2+a2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，
△=4a4-4（b2+a2）（a2-a2b2）＞0，
∴x1+x2=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x1x2，=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=2x1x2-（x1+x2）+1
=2×$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+1=0，
∴a2+b2-2a2b2=0，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$∈$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$，
∴$\frac{7}{6}$≤a2≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{42}}{6}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴2a∈$[\frac{\sqrt{42}}{3}，\sqrt{6}]$．
∴椭圆的长轴长的最大值是$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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$\overline{x}$$\overline{y}$$\overline{w}$$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2 $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）$\sum_{i=}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.65636.8289.81.61469108.8
表中：wi=$\sqrt{{x}_{i}}$$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$wi
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d $\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
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