Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=1且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若S_n是数列{a_n}的前n项和，则

2Sn+14

an+3

的最小值为（　　）

• A、4
• B、3
• C、4

  2

  -2
• D、

  11

  3

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由题意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a_n}的通项公式，前n项和，从而可得

2Sn+14

an+3

，换元，结合函数的单调性，即可求出函数的最小值．

解答： 解：∵a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比数列，
∴（1+2d）²=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a_n =2n-1，
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
∴

2Sn+14

an+3

=

2n2+14

2n+2

．
令t=n+1，则

2Sn+14

an+3

=t+

8

t

-2
t=2时，t+

8

t

-2=4，t=3时，t+

8

t

-2=

11

3

，
∴

2Sn+14

an+3

的最小值为

11

3

．
故选：D．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查函数的单调性，属于中档题．