Question

二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0无实数根，求证：b＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（-a）=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤

1

4

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）方程f（x）=0无实根时，由判别式△＜0即可证出b＞0；
（Ⅱ）设f（x）=0的两实根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则根据韦达定理及x₁，x₂是相邻整数可得到

x1+x2=-a x1x2=b x2-x1=1

，所以得到a²-4b=1，f（-a）=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）根据f（x）=0有两个实数根，所以判别式△=a²-4b≥0，b≤

a2

4

．并且设m＜x₁，x₂＜m+1，m∈Z，并且二次函数对称轴满足m＜-

a

2

＜m+1，f（m）=m2+am+b≤m2+am+

a2

4

=(m+

a

2

)2，所以需求m+

a

2

的范围，根据前面对称轴的范围得到-1＜m+

a

2

＜0，这样会得到f（m）＜1，而要证的是|f（k）|≤

1

4

．所以可以想着将m＜-

a

2

＜m+1分成m＜-

a

2

≤m+

1

2

，和m+

1

2

＜-

a

2

＜m+1这两种情况再去求m+

a

2

的范围即可证得该问．

解答： 证明：（Ⅰ）若方程f（x）=0无实根，则△=a²-4b＜0，即b＞

a2

4

，

a2

4

≥0，∴b＞0；
（Ⅱ）设两整根为x₁，x₂，x₁＜x₂，则

x1+x2=-a x1x2=b x2-x1=1

；
∴a2-4b=1，b=

a2-1

4

；
∴f(-a)=b=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）设m＜x₁，x₂＜m+1，m为整数，则：
a²-4b≥0，∴b≤

a2

4

；
（1）若-

a

2

∈(m，m+

1

2

]，即-

1

2

≤m+

a

2

＜0；
f（m）=m2+am+b≤m2+am+

a2

4

=(m+

a

2

)2≤

1

4

；
（2）若-

a

2

∈(m+

1

2

，m+1)，即0＜m+1+

a

2

＜

1

2

；
f（m+1）=（m+1）²+a（m+1）+b≤(m+1)2+a(m+1)+

a2

4

=(m+1+

a

2

)2＜

1

4

；
∴存在整数k，使得|f（k）|≤

1

4

．

点评：考查一元二次方程取得实根的情况和判别式△的关系，以及韦达定理，二次函数的对称轴．