Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，（1-a_n）a_n+1=

1

4

．
（1）求证：数列{

1

an- 1 2

}为等差数列；
（2）求证：

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

＜n+

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用得出数列的定义证明即可，令b_n=

1

an- 1 2

∴a_n=

1

bn

+

1

2

，则代入（1-a_n）a_n+1=

1

4

，化简可得b_n+1-b_n=-2，即可得证；
（2）由（1）可求得

an+1

an

=

n+1

2(n+2)

•

2(n+1)

n

=

(n+1)2

n(n+2)

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂项求和即可得出结论．

解答： 解：（1）令b_n=

1

an- 1 2

∴a_n=

1

bn

+

1

2

，
∵（1-a_n）a_n+1=

1

4

．
∴[1-（

1

bn

+

1

2

）]（

1

bn+1

+

1

2

）=

1

4

，
∴b_n+1-b_n=-2，又b₁=

1

1 4 - 1 2

=-4，
∴数列{b_n}是首项是-4，公差为-2的等差数列，即数列{

1

an- 1 2

}为等差数列；
（2）由（1）知b_n=-4-2（n-1）=-2n-2，
∴a_n=

1

bn

+

1

2

=-

1

2(n+1)

+

1

2

=

n

2(n+1)

，
∴

an+1

an

=

n+1

2(n+2)

•

2(n+1)

n

=

(n+1)2

n(n+2)

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

=n+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=n+

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜n+

3

4

．

点评：本题主要考查等差数列的证明及裂项相消法求数列的和等知识，注意式子的合理变形，是解决问题的关键，属于中档题．