题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）过F2的直线l与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用A（0，b），F1为QF2的中点．设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c，0），
AQ
=(-3c，-b)通过
AQ
⊥
AF2
，列出c的方程，求出c，即可得到离心率．
（Ⅱ）利用Rt△QAF2外接圆与直线相切，推出d=r，求出c=1，然后纠错a，b，即可求椭圆C的方程．
（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用设△F1MN的内切圆的半径为R，得到△F1MN的周长为4a=8，表示出△F1MN内切圆的面积表达式，说明R最大，S△F1MN也最大．可设直线l的方程为x=my+1，与椭圆联立，通过韦达定理
化简S△F1MN=
12
m2+1
3m2+4
，利用基本不等式求出最值即可．
解答： 解：（Ⅰ）由题A（0，b），F1为QF2的中点．
设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c，0）
AQ
=(-3c，-b)，
AF2
=(c，-b)
由题
AQ
⊥
AF2
，即
AQ
•
AF2
=-3c2+b2=0，∴-3c2+（a2-c2）=0即a2=4c2∴e=
c
a
=
1
2

（Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点F1（-c，0），半径r=2c，∵由题Rt△QAF2外接圆与直线x-
3
y-3=0相切∴d=r，即
|-c-3|
2
=2c，即c+3=4c∴c=1，a=2c=2，b=
3
故所求的椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题y1，y2异号．
设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长为4a=8，S△F1MN=
1
2
(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R，
因此要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时S△F1MN也最大．S△F1MN=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|，
 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由  
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
得（3m2+4）y2+6my-9=0，
由韦达定理得y1+y2=
-6m
3m2+4
，y1y2=
-9
3m2+4
，（△＞0⇒m∈R）S△F1MN=|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
12
m2+1
3m2+4

令t=
m2+1
，则t≥1S△F1MN=
12t
3t2+1
=
12
3t+
1
t
（t≥1），
当t=1时S△F1MN=4R有最大值3．此时，m=0，Rmax=
3
4

故△F1MN的内切圆的面积的最大值为
9π
16
，此时直线l的方程为x=1
点评：本题考查椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
在运用计算机（器）作函数图象时，经常用到“符号函数”S（x）=
1，x≥0
0，x＜0.
例如要表示分段函数g（x）=
x，x＞2
-x，x＜2
，可以将g（x）表示为g（x）=x•S（x-2）+（-x）•S（2-x）输入计算机，则计算机就会画出函数g（x）的图象．设f（x）=（-x2+4x-3）•S（x-1）+（x2-1）•S（1-x）（x≠1）．
（1）请把函数y=f（x）写成分段函数的形式；
（2）画出函数y=f（x）的大致图象；
（3）设F（x）=f（x+k），是否存在实数k，使得F（x）为奇函数？若存在，写出满足条件的k值；若不存在，说明理由．
函数f（x）=3x2+2（a-1）x-3在（-∞，1]上递减，则a的取值范围是
 
．
如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：H是△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形．
若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．
已知cos（
π
3
-a）=
3
3
，求sin（
5π
6
-a）+sin2（
2π
3
+a）的值．
已知集合U={x|x是小于18的正质数}，A∩（∁UB）={3，5}，B∩（∁UA）={7，11}，（∁UA）∩（∁UB）={2，17}，则A=
 
．
设函数f（x）=log 
1
2
1-ax
x-1
 为奇函数，a为常数．
（1）求a的值，并用函数的单调性定义证明f（x）在区间（1，+∞） 内单调递增；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个的x值，不等式f（x）≥（
1
2
）x+m恒成立，求实数m最大值．
已知函数f（x）=
sinx(x＜1)
x+a
x-4
(x≥1)
，函数g（x）=f（x）-x有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）
A、-
25
4
＜a＜-4
B、a＜-
25
4
C、a＞-
25
4
D、-
25
4
＜a＜-5

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