Question

如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=

3

BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是

2

；
②AB∥CE；
③V_B-ACE的体积是

1

6

a²；
④平面ABC⊥平面ADC；
⑤直线EA与平面ADB所成角为30°．
其中正确的有

 

．（填写你认为正确的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,空间中直线与直线之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：①由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；
②AB和CE是异面直线；
③根据三棱锥的体积公式即可求V_B-ACE的体积；
④根据面面垂直的判定定理即可证明；
⑤根据直线和平面所成角的定义进行求解即可．

解答： 解：由题意，AB=

3

BC，AE=

2

a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=

2

a
①由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角
∵AB=

3

a，BC=a，AC=

2

a，
∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=

2

，故①正确；
②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误．
③V_B-ACE的体积是

1

3

S_△BCE×AD=

1

3

×

1

2

a³=

1

6

a3，故③正确；
（4）∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴AD⊥BC，∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，
∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；
⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BDE，
∴EF⊥平面ABD，连接F，
则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，
在△AFE中，EF=

2

2

a，AE=

2

a，
∴sin∠EAF=

EF

AF

=

1

2

，则∠EAF=30°，故⑤正确，
故正确的是①③④⑤
故答案为：①③④⑤

点评：本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键．综合性较强，难度较大．