题目内容

设M是△ABC内一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（P）=（
1
2
，x，y），则log2x+log2y的最大值是（　　）
A、-5B、-4C、-3D、-2
考点：基本不等式
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：由向量的数量积可得|
AB
|•|
AC
|=4，从而求出S△ABC=1，进而可得x+y=
1
2
，从而利用基本不等式求最大值．
解答： 解：由题意，
∵
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|•cos30°=2
3
，
∴|
AB
|•|
AC
|=4，
则S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin30°=1
又∵S△PBC=
1
2
，
∴S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=x+y+
1
2
=1，
∴x+y=
1
2
，
∴xy≤（
x+y
2
）2=
1
16
（当且仅当x=y=
1
4
时成立），
∴log2x+log2y=log2xy≤log2
1
16
=-4，
故选B．
点评：本题考查了向量的运算、三角形面积相等即求法、基本不等式、对数运算等，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为
 
．
边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC
（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．
（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P-DEF体积的最大值．
已知A，B是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，T（
1
4
，0）点是定点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT面积的最大值．
已知点A是不等式组
x-3y+1≤0
x+y-3≤0
x≥1
所表示的平面区域内的一个动点，点B（-2，1），O为坐标原点，则|
OA
+
OB
|的最大值是
 
．
关于x的二次方程（
a
•
a
）x2+4（
a
•
b
）x+（
b
•
b
）=0没有实数根，则向量
a
与
b
的夹角的范围为（　　）
A、[0，
π
6
）
B、[0，
π
3
）∪（
2π
3
，π]
C、（
π
3
，π]
D、（
π
3
，
2π
3
）
设函数f（x）=lnx-x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设g（x）=
x
ex
，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+
1
e
=g(x0)在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）
给出下列5个命题：
①函数y=|sin（2x-
π
12
）|的最小正周期
π
2
是；
②直线x=
7π
12
是函数y=2sin（3x-
π
4
）的一条对称轴；
③函数y=
1
2
sin2x-x有三个零点；
④若sinα+cosα=-
1
5
，且α为第二象限角，则tanα=
3
4
；
⑤函数y=cos（2x-3）在区间（
2
3
，3）上单调递减．
其中正确的是
 
（填出所有正确命题的序号）．
若实数x，y满足约束条件
x-1≤0
y-1≤0
x+y-1≥0.
则目标函数z=(
1
4
)x•(
1
2
)y的最小值是
 
．

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