题目内容

20．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀非优秀总计
男生402060
女生203050
总计6050110
（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为$\frac{2}{3}$，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．
附：K2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k）0.5000.4000.1000.0100.001
k0.4550.7082.7066.63510.828

分析 （Ⅰ）由题意求出K2，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．
（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由题意：${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}$K2≈7.822K2≈7.822＞6.635，
∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．
（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，
$P（X=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1（\frac{2}{3}）{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2（\frac{1}{3}）{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
∴X的分布列为：

X0123
P$\frac{1}{27}$$\frac{2}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{8}{27}$
E（X）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

练习册系列答案
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A．3B．4C．5D．6
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A．$\frac{π}{12}$a3B．$\frac{π}{8}$a3C．$\frac{π}{4}$a3D．$\frac{π}{2}$a3

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