Question

3．已知函数f（x）=x²-2ax+2b
（1）若a，b都是从0，1，2，3四个数中任意取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0，3]中任取的一个数，求f（1）＜0成立时的概率．

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3四个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5个，函数有零点的条件为△=a²-4b≥0，即a²≥4b，列举出所有事件的结果数，得到概率．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值

解答 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3四个数中任取的一个数的
基本事件总数为N=4×4=16个，
函数有零点的条件为△，4a²-8b≥0，即a²≥2
∵事件“a²≥2b”包含：（0，0），（2，0），
（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共有7个
∴事件“a²≥2b”的概率为p=$\frac{7}{16}$；
（2）f（1）=1-2a+2b＜0，∴a-b＞$\frac{1}{2}$
则a，b都是从区间[0，3]任取的一个数，有f（1）＜0，
即满足条件：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤3}\\{0≤b≤3}\\{a-b＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
转化为几何概率如图所示，阴影部分面积为$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{5}{2}=\frac{25}{8}$
∴事件“f（1）＜0”的概率为p=$\frac{\frac{25}{8}}{3×3}=\frac{25}{72}$．

点评 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到