Question

对于正项数列{a_n}，若

an+1

an

≥q对一切n∈N^*恒成立，则an≥a1•qn-1对n∈N*也恒成立是真命题．
（1）若a₁=1，a_n＞0，且

an+1

an

≥3c(c≠

1

3

，c≠1)，求证：数列{a_n}前n项和Sn≥

1-(3c)n

1-3c

；
（2）若x₁=4，xn=

2xn-1+3

(n≥2，n∈N*)，求证：3-(

2

3

)n-1≤xn≤3+(

2

3

)n-1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式

分析：（1）首先对关系式进行恒等变换，进一步利用等比数列的前n项和公式求解．
（2）先对不等式进行恒等变换，然后求出结果．

解答： 证明：（1）∵

an+1

an

≥3c，
∴an≥a1•(3c)n-1，
∴a2≥3c，a3≥9c2，…an≥(3c)n-1，
Sn=a1+a2+…+an≥1+3c+9c2+(3c)n-1，
∴Sn≥

1-(3c)n

1-3c

；                                                          
（2）|xn-3|=|

2xn-1+3

-3|=|

( 2xn-1+3 -3)( 2xn-1+3 +3)

2xn-1+3 +3

|=

2|xn-1-3|

2xn-1+3 +3

，
∴|xn-3|≤

2

3

|xn-1-3|，
∴|xn-3|≤|x1-3|•(

2

3

)n-1，
∴|xn-3|≤(

2

3

)n-1
∴3-(

2

3

)n-1≤xn≤3+(

2

3

)n-1．

点评：本题考查的知识要点：数列前n项和公式的应用，不等式的恒等变换问题，属于中等题型．