Question

下列说法正确的是（　　）

• A、“f（O）=O”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
• B、“向量a，b，c，若a•b=a•c，则b=c”是真命题
• C、函数f（x）=

  1

  3

  x-㏑x在区间（

  1

  e

  ，1）有零点，在区间（1，e）无零点
• D、“若α=

  π

  6

  ，则sinα=

  1

  2

  ”的否命题是“若α≠

  π

  6

  ，则sinα≠

  1

  2

  ”

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．例如f（x）=

1

x

是奇函数，f（x）=x²是偶函数，即可判断出；
B．若

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

•(

b

-

c

)=0，可得

a

⊥(

b

-

c

)，不一定

b

=

c

”；
C．f(

1

e

)=

1

3e

+1＞0，f（1）=

1

3

＞0，f（e）=

e

3

-1＜0，可得在区间（1，e）有零点，即可判断出；
D．利用否命题的定义即可判断出．

解答： 解：A．“f（O）=O”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，例如f（x）=

1

x

是奇函数，f（x）=x²是偶函数，因此不正确；
B．“向量

a

，

b

，

c

，若

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

•(

b

-

c

)=0，可得

a

⊥(

b

-

c

)，不一定

b

=

c

”，是假命题，不正确；
C．f(

1

e

)=

1

3e

+1＞0，f（1）=

1

3

＞0，f（e）=

e

3

-1＜0，可得在区间（1，e）有零点，因此不正确；
D．“若α=

π

6

，则sinα=

1

2

”的否命题是“若α≠

π

6

，则sinα≠

1

2

”，正确．
故选：D．

点评：本题考查了函数的性质、零点的判定、向量的数量积运算、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于中档题．