Question

如图，在正方形ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（1）求证：PC⊥AF；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）求证：PD⊥平面AFE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由于AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，故可利用三垂线定理，转化为证明：AC⊥BD
（2）要证明AF∥平面PEC，关键是要找到平面PEC中与AF平行的直线
（3）连接FE，因为ABCD是正方形，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点，得到EF⊥PD，AF∩PD，由线面垂直的判定定理判断．

解答： 解：（1）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD．
（2）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，又EK?平面PEC，
AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（3）连接EF，因为ABCD是正方形，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
所以PE=DE=

5

，
所以EF⊥PD，AF∩PD，
所以PD⊥平面AEF．

点评：本题考查了线面平行、垂直的判定定理和性质定理；
判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?β，a∥α⇒a∥β）．