Question

7．已知函数f（x）=x³-3x，若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，则实数c的最小值4．

Answer 1

分析 由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
因为f（-1）=2，f（1）=-2，
所以当x∈[-2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值为4，
故答案为：4．

点评 此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意总转化为求函数在定义域下的最值问题，是一道中档题．