Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过点F作倾斜角为120°的直线l交椭圆的上半部分于点P，此时AP垂直PF，则椭圆C的离心率是$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$．

Answer 1

分析 设椭圆的左焦点为Q，由已知，结合椭圆的性质，可得AF=a+c，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+c），PF=$\frac{1}{2}$（a+c），PQ=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$c，在△PQF中利用余弦定理，构造关于a，c的方程，解得答案．

解答 解：由已知可得：F的坐标为（c，0），
由题意知，∠APF=180°-120°=60°，

Rt△AFP中，设AF=a+c，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+c），PF=$\frac{1}{2}$（a+c），
设椭圆的左焦点为Q，
则QF=2c，PQ=2a-$\frac{1}{2}$（a+c）=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$c，
在△PQF中：
cosPFQ=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{PF}^{2}+{QF}^{2}-{PQ}^{2}}{2PF•QF}$=$\frac{{\frac{1}{4}（a+c）}^{2}+{4c}^{2}-{（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}c）}^{2}}{（a+c）•2c}$，
即a²-2ac-6c²=0
即6e²+2e-1=0
解得：e=$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$

点评 本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，余弦定理，难度中档．