Question

12．已知数列{a_n}，{b_n}，其中{a_n}为等差数，列，b₁=a₁=2，且a₃为a₂与a₅-1的等比中项，
（1）求a_n；
（2）对$n∈{N^*}，{b_{n+1}}-{b_n}={3^n}{a_n}$，求b_n（用n表示）．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵b₁=a₁=2，且a₃为a₂与a₅-1的等比中项，
∴${a}_{3}^{2}$=a₂•（a₅-1），∴（2+2d）²=（2+d）（1+4d），解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）对$n∈{N^*}，{b_{n+1}}-{b_n}={3^n}{a_n}$=2n•3ⁿ．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2[（n-1）•3^n-1+（n-2）•3^n-2+…+1•3]+2．
设T_n-1=3+2×3²+…+（n-2）•3^n-2+（n-1）•3^n-1，
∴3T_n-1=3²+2×3³+…+（n-2）•3^n-1+（n-1）•3ⁿ，
∴-2T_n-1=3+3²+…+3^n-1-（n-1）•3ⁿ=$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（n-1）•3ⁿ，
∴T_n-1=$\frac{3+（2n-3）•{3}^{n}}{4}$．
∴b_n=$\frac{7+（2n-3）•{3}^{n}}{2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．