Question

7．已知以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且点B在x轴的下方，若|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差数列，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，则直线AC的方程为（　　）

• A． y=x
• B． y=x+1
• C． y=2x+1
• D． y=2x-1

Answer 1

分析 根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差数列，且点B在x轴下方，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，求出x₁+x₃=2，x₂=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0），则抛物线的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，
即抛物线方程为y²=4x，F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差数列，
2|${\overrightarrow{FB}}$|=|${\overrightarrow{FA}}$|+|${\overrightarrow{FC}}$|，即x₁+1+x₃+1=2（x₂+1），
即x₁+x₃=2x₂，
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，
∴（x₁-1+x₂-1+x₃-1，y₁+y₂+y₃）=0，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
则x₁+x₃=2，x₂=1，
由y₂²=4x₂=4，则y₂=-2或2（舍），
则y₁+y₃=2，
则AC的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），即（1，1），
AC的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{3}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=$\frac{4}{2}$=2，
则直线AC的方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1，
故选D．

点评 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大，属于中档题．