Question

如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满

足：对，常数A，都有成立，则称函数

在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、

（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）

（

Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；

（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.

请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上

有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否

有上界？并说明理由；

（Ⅲ）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数

在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有

界函数？

Answer 1

（I）解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，

∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数；

当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，

∴对，都有，

即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在（0，＋）上有下界.  

[解法2：

当且仅当即时“＝”成立

∴对，都有，

即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在（0，＋）上有下界.]

（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.

设则，由（1）知，对，都有，

∴，∵函数为奇函数，∴

∴，∴

即存在常数B=－32，对，都有,

∴函数在（－， 0）上有上界.

（III）∵，

由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，

∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数；

当时，，∴函数在（，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，

 

①当时，函数在上是增函数；

∴

∵、是常数，∴、都是常数

令,

∴对，常数A,B,都有

即函数在上既有上界又有下界

②当  时函数在上是减函数

∴对都有

∴函数在上有界.

③当时，函数在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者

则对，常数A,B,都有

∴函数在上有界.

综上可知函数是上的有界函数.