Question

9．如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的
切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°，即可求∠DAC的度数；
（2）利用Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE=BC，即可求线段AE的长．

解答 解：（1）由已知△ABC是直角三角形，AB=6，BC=3，∠CAB=30°．
由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°．
由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°，
故在Rt△ADC中，∠DAC=30°．…（5分）
（2）连结BE，如图所示，∠EAB=60°=∠CBA，
则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE=BC=3．…（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．