Question

18．如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB，AC分别交于点E、F，设EF交AD于点G，连接DF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）已知DF=2，AG=3，求$\frac{AE}{EB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质知∠4=∠2，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出EF∥BC；
（2）因为EF∥BC，求出△ADF∽△FDG，根据其相似比即可解答．

解答 （1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴∠4=∠2，
又∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠5，
∴△ADF∽△FDG，
∴$\frac{AD}{FD}=\frac{FD}{GD}$，
设GD=x，则$\frac{3+x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得x₁=1，x₂=-4，经检验x₁=1，x₂=-4为所列方程的根，
∵x₂=-4＜0应舍去，
∴GD=1由（1）已证EF∥BC，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AG}{GD}$=3．

点评 主要考查的是相似三角形判定和性质的应用，切线的性质，以及解分式方程．