Question

14．已知函数f（x）=x³+bx²+cx-1当x=-2时有极值，且在x=-1处的切线的斜率为-3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值；
（3）若过点P（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）在x=-2时有极值，且在x=-1处的切线的斜率为-3，可有：$\left\{\begin{array}{l}{f'（-2）=0}\\{f'（-1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$；
（2）函数f（x）的解析式为：f（x）=x³+3x²-1，利用导数判断出函数的单调区间，求出极值；
（3）过点P（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，即存在三个x₀，也即是y=m与h（x）=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1有三个交点．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c
f（x）在x=-2时有极值，且在x=-1处的切线的斜率为-3
可有：$\left\{\begin{array}{l}{f'（-2）=0}\\{f'（-1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
函数f（x）的解析式为：f（x）=x³+3x²-1
（2）由（1）知：f'（x）=3x²+6x
令f'（x）=0，有x₁=0，x₂=-2．
所以，当x∈[-1，0]时，f'（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减；
当x∈[0，2]时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；
∴f（x）_min=f（0）=-1；f（x）_max=max{f（-1），f（2）}=f（2）=19．
（3）设切点为（x₀，${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-1）
切线斜率为：k=f'（x₀）=3${x}_{0}^{2}$+6x₀
∴切线方程为：y-（${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-1）=（3${x}_{0}^{2}$+6x₀）（x-x₀） ①
又切线过点P（1，m），带入①化简为：m=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1
令y=m 与 h（x₀）=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1
 h（-1）=-5，h（1）=3，h（0）=-1；
h'（x₀）=-6${x}_{0}^{2}$+6，令h'（x₀）=0⇒x₁=-1，x₂=1；
h（x₀）在（-∞，-1），（1，+∞）单调递减，（-1，1）上单调递增；
过点P（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，即存在三个x₀，也即是y=m与h（x）有三个交点．
故如图所知：-5＜m＜3．

点评 本题主要考查了导数与切线方程，函数极值，函数的单调性以及函数与方程思想，属中等题．