Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{{e}^{|x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}+ax}$）图象关于原点对称．则实数a的值构成的集合为$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意，函数是奇函数，f（-x）+f（x）=0，结合对数的运算性质，即可得出结论．

解答 解：由题意，函数是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴$\frac{1}{{e}^{|-x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}-ax}$）+$\frac{1}{{e}^{|x|}}$•log₃（$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}+ax}$）=0，
∴log₃（$\frac{1}{1+2{x}^{2}-{a}^{2}{x}^{2}}$）=0，
∴1+2x²-a²x²=1，
∴a=$±\sqrt{2}$．
故答案为$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算性质，属于中档题．