Question

11．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与已知双曲线x²-4y²=4有共同渐近线且经过点（2，2）；
（2）渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，焦距为10；
（3）经过两点P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7）；
（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点（4，-$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 （1）设与双曲线x²-4y²=4有共同的渐近线的方程为x²-4y²=λ（λ≠0），代入点的坐标，即可得出双曲线方程；
（2）渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，焦距为10，则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5或$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，c=5，求出a，b，即可得出双曲线方程；
（3）经过两点P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7），设双曲线的标准方程为nx²+my²=1（m•n＜0），代入，求出m，n，即可得出双曲线方程；
（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，设方程为x²-y²=λ（λ≠0），代入点（4，-$\sqrt{10}$），即可得出双曲线方程．

解答 解：（1）设与双曲线x²-4y²=4有共同的渐近线的方程为x²-4y²=λ（λ≠0），
∵双曲线经过点（2，2），
∴2²-4•2²=λ，
∴λ=-12，
∴x²-4y²=-12，即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1；
（2）渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，焦距为10，则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5或$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，c=5，
∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$或a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1或$\frac{{y}^{2}}{20}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（3）设双曲线的标准方程为nx²+my²=1（m•n＜0），
又双曲线经过点P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7），
所以$\left\{\begin{array}{l}{28m+9n=1}\\{49m+72n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{25}$，n=-$\frac{1}{75}$，
所以所求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{75}$=1
（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，设方程为x²-y²=λ（λ≠0），
代入点（4，-$\sqrt{10}$），可得λ=6，所以双曲线的方程为x²-y²=6．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的设法，属于中档题．